Gilles Deleuze

The idea as a differential of thought

The following text is an excerpt from my book Inhabiting Media, Annäherungen an Herkünfte und Topoi medialer Architektonik (PHD Thesis, University Basel 2009/11)

Die Idee als »Differential« des Denkens.
Oder: Zum Verhältnis von Struktur und Genese im Sprachspiel des Virtuellen

»Jede Umgestaltung eines im echten und fruchtbaren Sinne »formalen« Begriffs zieht hier zugleich eine neue Auffassung des gesamten Gebietes nach sich, das durch ihn beherrscht und geordnet wird.«

– Ernst Cassirer [1]

Dieses Sprachspiel des Virtuellen kann natürlich seinerseits nicht voraussetzungslos beginnen. Die Schwierigkeit für Deleuze besteht dabei darin, wenn wir dies rückblickend zusammenfassen wollen, dass er eine »Methode« entwickeln muss, die dem Kerngedanken des transzendentalen Empirismus gerecht werden kann: Die Bedingungen für ein Etwas sind nicht unabhängig von der konkreten Bestimmung des Bedingten selbst bestimmbar.[2] Als Konsequenz ergibt sich offen­sichtlich eine spezifische Zirkularität. Die Bedingungen sollen doch, nach tradierter Auffassung, gerade das Fundament bilden, auf das man zurückgreifen kann, um etwas konkretes zu bestimmen.

»This is why there can be no categories (at least in the Aristotelian or Kantian sense) in Deleuze’s philosophy, since (as he puts it), the categories cast a net so wide that they let all the fish (that is, the real) swim through it. But this requirement – that conditions not be broader than the conditioned – means that the conditions must be determined along with what they condition, and thus must change as the conditioned changes.«[3]

War Descartes vor allem an der Bestimmung dessen interessiert, was logisch möglich ist, und Kant an der Bestimmung der Grenzen möglicher Erfahrung, so ist Deleuze an den Bedingungen wirklicher Erfahrung interessiert.[4] In der Konsequenz bedeutet dies, dass Deleuze eine genetische Methode sucht, die er weder in den empirischen Methoden der Experimental­wissenschaft noch in den analytischen Methoden der Logik finden kann.[5] Deleuze versteht sich damit durchaus als Metaphysiker, »I feel myself to be a pure metaphysician […] Bergson says that modern science hasn’t found its metaphysics, the metaphysics it would need. It is this metaphysics that interests me.«[6] Die spezifischen Anforderungen für eine solche Philosophie, nach der Deleuze also sucht, charakterisieren John Protevi und Daniel W. Smith entlang zweier Vektoren:

»First, the abstract (e.g. »subject«, »object«, »State«, the »whole« and so on) does not explain, but must itself be explained; and second, the aim of philosophy is not to rediscover the eternal or the universal, but to find the singular conditions under which something new is produced. In other words – and this is a pragmatic perspective from which Deleuze never deviated – philosophy aims not at stating the conditions of knowledge qua representation, but at finding and fostering the conditions of creative production.«[7]

In anderen Worten, das Abstrakte selbst muss Gegenstand empirischer Untersuchung werden. Gleichzeitig aber kann die Auswertung der dabei gewonnen »empirischen Daten« nicht auf logischen oder kategorischen Bestimmungen gründen, die unabhängig von der konkreten Untersuchung universell als »gültig«[8] gelten könnten. Es gibt an diesem Punkt eine enge Verwandtschaft des Denkens von Deleuze und Michel Serres. In Serres Terminologie handelt es sich dabei um die schwierige Beziehung des »Lokalen« zum »Globalen«, dessen Übergang er in vielen Büchern mit unterschiedlichen Metaphern zum Thema macht.[9] Das Gebiet, in welchem dies verhandelt wird, ist für Serres wie für Deleuze der Kalkulus.[10] »Calculus is the primary mathematical tool we have at our disposal to explore the nature of reality, the nature of the real […]«, fasst Smith die Bedeutung dieser Mathematik zusammen. »When physicists want to examine the nature of a physical system, or an engineer wants to analyse the pressure on a weight-bearing load, they model the system using the symbolism of the calculus.«[11] Es sei durch die Philosophiegeschichte hindurch immer wieder paradigmatisch gewesen, zu welchen Ästen der Mathematik sich Philosophen hingezogen gefühlt hätten. So weist Serres beispielsweise die Verbindung zwischen Lukrez und Archimedes nach, dessen Mathematik des Flüssigen und Strömenden nach Serres Modell gewesen sei für Lukrez Gedicht über die Dinge der Natur.[12] Ebenso sei wohlbekannt, wie Smith erwähnt, dass Platon sich der Euklidschen Geometrie und dessen statische, unveränderlichen und selbst-identischen Elemente und Formen zugewandt hätte, um ein Modell zur Konzeption seines Begriffs der Ideen zu finden. Deleuzes Interesse für den Kalkulus könnte man als gegenläufiges Interesse zu Platon interpretieren – konsistent mit seiner Forderung einer Umkehrung des Platonismus –, denn Deleuze findet hier ein mathematisches Modell eines Differenz-Prinzips. Ian Stewart sieht darin gar den Motor der wissenschaftlichen Revolution der Neuzeit: »The differential equation paradigm.«[13] Die Natur könne nur durch Differentialgleichungen verstanden werden.[14]

Wenn sich Deleuze also dem Kalkulus zuwendet, so ist darin nicht etwa der Anspruch zu entdecken, er wolle damit eine Philosophie der Mathematik entwickeln. Wenn schon, dann eher umgekehrt, und wiederum mit Serres, eine Mathematisierung der Philosophie, womit hauptsächlich ein spezifischer Umgang mit Zeichenschöpfungen und Referenzsystemen gemeint ist. Vielmehr will er aus dieser Auseinandersetzung Hinweise dafür finden, wie er ein genuin philosophisches Konzept der Differenz entwickeln könnte.[15] In seinem Vorwort zur englischen Ausgabe von Difference and Repetition schreibt Deleuze klärend: »We tried to constitute a philosophical concept from the mathematical function of differentiation. […] We are well aware, unfortunately, that we have spoken about science in a manner which was not scientific.«[16] Es bleibt natürlich die Frage bestehen, warum gerade der Kalkulus? Diese grundsätzlichen Ideen mögen den Anschein einer Beliebigkeit erwecken, die meiner Auffassung nach jedoch unberechtigt wäre. Es gäbe andere Quellen des Differenzbegriffs, wenn es Deleuze nicht tatsächlich um die Begründung einer neuen Metaphysik gehen würde. Ich vermute, dass diese Forderung von Deleuze sehr ernst zu nehmen ist. Wir haben bereits gesehen, wie grundlegend die Bedeutung der Funktionalanalysis, der analytischen Geometrie sowie der Differential- und Integralrechnung für die Neuzeit im Allgemeinen gewesen ist. Das Denkbild des Funktionsbegriffes kann als Ausdruck der neuzeitlichen Interesses an einer analytischen Begründung der Geometrie gelesen werden. So betrachtet löst es das Denkbild des Gleichungsbegriffs ab, welches paradigmatisch war für eine demonstrative Analysis more geometrico. Dieses Denkbild des Funktionsbegriffs kann allgemein formuliert werden als Verhältnisbestimmung von beobachtbaren Entwicklungen, die man damit methodisch in ihren Relationalitäten zueinander und untereinander bestimmen konnte. Dieses Denkbild stellt sich als zentral heraus, sowohl für die Durchsetzung der Ablösung der scholastischen Zeichen-Hermeneutik durch den operationalen Symbolismus seit Viète und Descartes, für den Erfolg der empirischen Experimentalwissenschaft in der Folge von Galilei und Bacon, bis zu den neuen Weltentwürfen eines sich selbst zusammen- und am Laufen haltenden Kosmos in den Begriffen mechanischer Räderwerke.

Die Umwälzungen im 19. Jahrhundert nahmen prekärerweise ihren Ausgang in den mathema­tischen Entwicklungen rund um den Funktionsbegriff. Dieser ging einher mit der Ausbildung eines neuartigen Zahlenbegriffs, was eine Emanzipation von der antiken wie auch der scholastischen Zahlenontologie bedeute. Zahlen wurden damit nicht mehr mit Bezug auf eine Referenz, als Eigenschaften von etwas wie auch immer gearteten Abzählbarem definiert, sondern als logische Symbole. Damit werden Zahlen als Elemente von Mengen begriffen, die durch Abbildungsregeln als Glieder einer Reihe geordnet werden. Die »Essenz« von Zahlen geht damit vollends in ihrem Stellenwert innerhalb eines symbolischen Ordnungssystems auf:

»Der ganze »Bestand« der Zahlen beruht nach dieser Ableitung auf den Verhältnissen, die sie in sich selber aufweisen, nicht auf der Beziehung zu einer äusseren gegenständlichen Wirklichkeit: sie bedürfen keines fremden »Substrats«, sondern halten und stützen sich wechselseitig, sofern jedem Glied durch das andere die Stelle im System eindeutig vorgeschrieben ist.«[17]

Solche Reihen selbst wurden in einem weiteren Entwicklungsschritt nun wiederum als Einheiten begriffen, genauer formuliert: als Mengen von Mengen, für deren Ordnung wiederum Prinzipien definiert werden mussten. Man unterschied diese Ordnungsebene von der ordinalen mit dem Begriff der kardinalen Ordnungsebene. Damit war jedoch das Problem eröffnet, woran sich eine Ordnungstheorie auf dieser Ebene begründen liesse, und Cassirer beschreibt entsprechend, wie just an diesem Punkt die »allgemeine logische Prinzipienfrage« erneut auftaucht:

»In den verschiedenen Deutungen des Zahlbegriffs wiederholt sich noch einmal der allgemeine Kampf zwischen der Logik der Gattungsbegriffe und der Logik der Relationsbegriffe.«[18]

Als »allgemeine logische Prinzipienfrage« bezeichnet Cassirer diesen Streit deshalb, weil Frege und Russell als entscheidenden Vorzug ihrer Logik gegenüber der aristotelischen Gattungslogik betrachten, dass in ihr die Zahl nicht mehr als eine Eigenschaft an physischen Dingen, sondern als Aussage über eine bestimmte Beschaffenheit von Klassen erscheint, dass hier also, wie Cassirer zusammenfasst, »nicht mehr die Objekte als solche, sondern die Begriffe von diesen Objekten das Fundament des Zahlurteils bilden.«[19] Das Problem, das hier auftaucht, betrifft den Erkenntniswert solcher Aussagen, und ist in diesem Sinn ein – nichtsdestotrotz – als metaphysisches Problem zu charakterisieren. Auslöser für diese Grundsatzdiskussion im 19. Jahrhundert war insbesondere auch die Einführung einer neuen Zahlart, der sogenannten imaginären Zahlen. Diese Bezeichnung drückt genau den Kern des Problems aus: »Es sind Urteile und Aussagen über Nicht-Wirkliches, die hier dennoch einen bestimmten, unentbehrlichen Erkenntniswert für sich in Anspruch nehmen«, schreibt Cassirer.[20] Obwohl dies am Beispiel der imaginären Zahlen schön zum Ausdruck kommt, betrifft das Problem laut Cassirers Darstellung die Einführung von neuen Zahlen im Allgemeinen.[21] Deshalb habe Gauss etwa die explizite Forderung ausgesprochen, eine »echte Metaphysik des Imaginären« begründet werden müsse.[22] Damit wird deutlich, welche Rolle die Vorstellung des Unendlichen in diesen Entwicklungen gespielt haben. War der Vorzug des Zahlbegriffs gegenüber dem Zahlzeichen und seiner ontologischen Verbandelung mit etwas Aussersymbolischem doch gerade, dass ein allgemeines Ordnungsprinzip unabhängig von den zu ordnenden Entitäten gefunden war. Damit war eine Vorstellung von formaler Begrenzung und Begrenzbarkeit verbunden, von der man sich die Zähmung des grenzenlos Offenen und der damit verbundenen Sinnlosigkeit versprochen hatte. Anders als zu Beginn der Neuzeit stellt das Unendliche jetzt nicht mehr eine Bedrohung im Aussen dar, sondern es scheint sich einen Weg aus dem vermeintlich gesicherten Innen herauszubrechen. Sinnbildlich für die Befindlichkeiten, die ein solches »immanentes Unendliches« evoziert haben,[23] mag eine Diskussion sein, die Kontext dieser Themen geführt wurde. In dieser Perspektive des logischen Zahlenbegriffs sei »jede natürliche Zahl ein Sonderwesen, dessen Eigenart durch das Erzeugungsgesetz der Zahlenreihe garantiert wird«, schreibt Röller.[24] Die neuen Zahlen nun, respektive die neuen Zahlverhältnisse, wurden entsprechend des genetischen Prinzips, nach denen sie erzeugt sind, biologistisch als neue »Wesen«, als neue »Spezie« beschrieben. Darunter gab es auch solche, die etwa von Karl Weierstrass als »Monster« beschrieben worden sind, das heisst als Gebilde oder Wesen, die wohl von dieser Welt sind, aber dennoch nicht als »natürlich« im Sinne einer legitimen, genealogischen Nachfolgeschaft begriffen worden sind.[25] Dies wird uns in einem folgenden Kapitel noch eingehender beschäftigen.

Im 19. Jahrhundert erkennt man also, dass sich nach dieser neuen Logik auch Zahlen bilden lassen, für die es in der über die Anschauung vertrauten Wirklichkeit keinen Nachweis gibt. Die zahlen­onto­logischen Streitereien dieser Zeit bringen die Notwendigkeit einer Revision der philo­sophischen Unterscheidung zwischen Substanz und ihren Eigenschaften zum Ausdruck. Wie Nils Röller zusammenfassend schreibt,[26] das Erfassen der Implikationen der Mengentheorie und deren Mannigfaltigkeiten setzt eine Revision der aristotelischen Logik voraus. Cassirers Kritik stellt heraus, inwiefern die ontologischen Voraussetzungen der Aristotelischen Logik noch solange uneingestandenerweise auch von der begrifflichen Logik fortgeschrieben würde, wie diese »Dingbegriffe und Funktionsbegriffe völlig auf eine Stufe« stelle.[27] Nichts anderes forderte Henri Bergson mit seiner Frage nach einer neuen Metaphysik.[28] Wie Röller zusammenfassend darstellt, werden nach aristotelischer Logik Begriffe durch Abstraktion spezifischer Merkmale von einer Reihe von Gegenständen gewonnen. Der Begriff »Baum« zum Beispiels werde durch einen Vergleich von Eiche, Ulme, und Birke gewonnen, bei dem man von den individuierenden Merk­malen wie etwa der besonderen Form der Blätter absehe und nur die Gemeinsamkeit der Gattung fest­halte, nämlich dass sie Wurzel, Stamm und Äste besitzen.[29] Demgegenüber wird nach der symbolischen Logik in der Darstellung Cassirers ein Begriff nicht durch den Vergleich von Eigenschaften und zunehmender Abstraktion von Gegebenem gewonnen. Sondern es wird hier nach der analytischen Problemlösungs-Methode ein »individuelles Allgemeines« vorausgesetzt, dessen Ordnungskraft sich mittels eines genetischen Prinzips entfaltet, das spezifische Instanzen dieses »individuellen Allgemeinen« zu erzeugen vermag.

Kehren wir nun zu Deleuze zurück mit der Frage, was ihn wohl an der Differentialrechnung dermassen inspiriert hat. Das Versprechen, das Deleuze in dieser Mathematik entdeckt – so will ich im folgenden versuchen darzulegen – betrifft eben dieses von Cassirer problematisierte Verhältnis zwischen Funktionsbegriff und Substanzbegriff. Wie liesse sich eine philosophische Methode entwickeln, welche eine ähnliche Revolution des philosophischen Begriffs des Seins ermöglichte wie dies mit dem Zahlenbegriff in der Logik geschehen konnte? Mit seinem Verständnis von Philosophie als dem Schaffen von Begriffen sucht er nach einer genetische Methode, respektive, er sucht nach der Möglichkeit einer systematischen Darstellung dieser Methode sowie deren Voraussetzungen.[30] In diesem Sinn, so schreiben Protevi und Smith in ihrem Artikel über Deleuze im Stanford Encyclopedia, hätte er eine Metaphysik entwickelt, die »adequate to contemporary mathematics and science« sei. »[A] metaphysics in which the concept of multiplicity replaces that of substance, event replaces essence and virtuality replaces possibility.«[31] Erinnern wir uns nun, dass Deleuze im Vorwort zu Differenz und Wiederholung sagt eben demjenigen Buch also, dem Protevi und Smith zentrale Bedeutung für dieses System zusprechen –, es läge ihm daran, ein »philosophical concept from the mathematical function of differentiation« zu entwickeln. Wenn dies hier auch nur in einer kurzen einleitenden Übersicht möglich ist, so wollen wir nun trotzdem genauer betrachten, welche Rolle als die Denkfigur des Differentials für Deleuze spielt.

Wir müssen dazu einen kurzen Exkurs in die Geschichte der Mathematik selbst machen, als Ausgangslage, um den philosophischen Begriff des Differentials, den Deleuze entwickelt, später auch in systematischer Hinsicht begreifen zu können. Hinsichtlich des mathematikgeschichtlichen Hintergrundes orientiere mich dabei vorwiegend an der Darstellung von Simon Duffy, der diesen in seinem Aufsatz The Mathematics of Deleuzes Differential Logic and Metaphysics herleitet. Duffy beginnt seine Darlegung mit Bezug auf Carl Boyer, der in seinem Buch The History of the Calculus and its Conceptual Development das Konzept des Differentials beschreibt als »dealing with the infinite sequences […] obtained by continuing […] to diminish ad infinitum the intervals between the values of the independent variable. […] By means of [these] successive subdivisions […] the smallest possible intervals or differentials [are obtained].«[32] Das Konzept wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt, als eine bestimmte Interpretation von analytischen Funktionsgleichungssystemen.[33] Bei Leibniz leistet das Differential als Modellvorstellung die Vermittlung einer Relation, die eigentlich als »unmögliche« bezeichnet werden müsste: »As a vanishing quantity, dy, in relation to y, is strictly speaking, equal to zero.«[34] Der Wert eines Differentials besteht lediglich darin, eine verschwindend kleine Quantität auszudrücken – »a quantity smaller than any given or givable quantity«, wie Duffy schreibt.[35] Wenn nun zwei solche Differentiale aufeinander bezogen werden, wenn also ein Differentialquotient dy/dx gebildet wird, so kommt dieser Relation eine Positivität zu, obwohl der Wert des Verhältnisses eigentlich ein undefinierbares Nichts darstellt, nämlich 0/0, numerisch ausgedrückt. Diese paradoxal anmutende Situation beschreibt Duffy folglich: »there is no relation between two things which do not exist. However, the differentials do actually exist. They exist as vanishing quantities insofar as they continue to vanish as quantities rather than having already vanished as quantities.«[36] Paradoxerweise bestehen die Differentialrelationen also, um im Fall der Ableitung eine Änderung zu beschreiben, die eigentlich keine ist; respektive im Fall der Integration, um eine Summe unendlich kleiner Quantitäten (die eigentlich keine Quantitäten sind) zu berechnen.

Deleuze schreibt über dieses eigenartige Verhältnis: »What subsists when dy and dx cancel out under the form of vanishing quantities, is the relation dy/dx itself.«[37] Er entdeckt nun mit diesem Begriff der Relation eine fundamentale Denkbewegung, die ihn zu seiner spezifischen Art über Logik nachzudenken inspiriert. »Under this form of infinitesimal calculus is discovered a domain where the relations no longer depend on their terms. […] The differential relation presents itself as the subsistence of the relation when the terms vanish.«[38] Er findet hier das Modell einer »reinen Relation«, rein in dem Sinn, dass damit ein Verhältnis symbolisiert wird, die als unabhängig von den konkreten Termen, zwischen denen es sich aufspannt, gedacht wird. Ausführlich bespricht er das Differential in Die ideelle Synthese der Differenz.[39]

Wenn nun aber davon die Rede ist, dass Deleuze hier das Modell einer bestimmten Relation findet, so bedeutet das weit mehr als bloss eine Idee, die nächste Gedankengänge auslösen mag und in diesem Sinn auch inspirierend wäre. Um hier aber ein Modell – das heisst so in etwa, eine Idee in ihrer Funktionsweise – zu entdecken, dafür müssen wir den Stellenwert der Differentiale im ursprünglichen Kontext besser verstehen. Was leisten sie dort, was ist ihre Funktion und was wären alternative Modelle, um auf das Problem zu antworten, auf das sie eine Lösung bieten? Kurz gesagt, wir müssen die Voraussetzungen dieses Modells genauer in den Blick nehmen. Und das heisst zweierlei: Einmal gilt es, diese Fragen hinsichtlich der Infinitesimalrechnung zu stellen, und einmal hinsichtlich der Problematik um die Potenzreihen, in dessen Zusammenhang Deleuze seinen Rückgriff auf diese Denkfigur vor allem stellt.[40] Bedenken wir den Stellenwert dessen, was Deleuze als das Verhältnis zwischen »Ideen« und »Problem« definiert, für seine Philosophie insgesamt, so sehen wir die zentrale Bedeutung, welche der Denkfigur des Differentials bei ihm zukommt: »Kurz, das dx ist die Idee – die platonische, leibnizsche oder kantische Idee, das »Problem« und dessen Sein.«[41] Worin besteht also der »Schatz«, den Deleuze aus den »sogenannt barbarischen oder vorwissenschaftlichen Interpretationen der Infinitesimalrechnung« bergen will?[42]

Etwas salopp ausgedrückt geht es beim Rechnen mit Funktionen zunächst darum, spezifische Beobachtungen anhand einer postulierten Regelhaftigkeit (Funktion) in einem grösseren Zusammenhang zu begreifen, und diesen Zusammenhang dann systematisch zu überprüfen. Dies kann in zwei Richtungen gehen. Ausgangspunkt ist immer ein Prinzip, eine Regel. Von dieser kann man nun über ein Ableitungsverfahren die Werte für das Verhalten eines Funktions­gleichungs­systems zu einem bestimmten Zeitpunkt bestimmen, in anderen Worten, man ist interessiert an der global gültigen Beschreibung der Änderung einer Funktion. Dieses Vorgehen nennt man mathematisch »Differenzierung« oder »Ableitung einer Funktion«. Es gibt aber auch die Möglichkeit in der inversen Richtung zu verfahren und zu verschiedenen Ableitungen die gemeinsame Stammfunktion zu suchen. Dieses Verfahren nennt man »Integration«. Ein Differentialgleichungssystem lösen heisst, dass man das System mathematisch integrieren konnte und darüber eine Regelhaftigkeit herausfinden konnte, die die verschiedenen Komponenten zu einem umfassenden Systemzusammenhang transformiert. In vielen realweltlichen Anwendungs­fällen kommen die Differentiale als sehr kleine Grössen dort ins Spiel, wo man keine analytische Lösung für ein Gleichungssystem finden kann. In diesem Fall gibt es die Möglichkeit, eine Lösung lediglich approximativ zu bestimmen, wobei sich hier die Frage stellt, wie genau denn ein solcher Systemzusammenhang beschreibbar sein muss, um als gelöst erachtet zu werden. Praktisch gesehen beurteilt man den Status einer numerischen Rechnung anhand einiger Kriterien wie Konvergenz, Stabilität oder Robustheit, die man über numerische Experimente bestimmt. Theoretisch wäre der Verlauf eines Verhaltens über Approximation erst in dem Moment exakt beschrieben, in dem das Kontinuum aller Punkte, durch die es verläuft, miteinbezogen wären.[43] Damit kommt allerdings der alte Disput um die Unendlichkeit und die »Realität« der irrationalen Zahlen an die Oberfläche. Heute sagen wir, dass sich in dieser Situation das Problem der »Grenzwerte« zeigt. Newton und Leibniz haben verschiedene Verfahren zum Umgang damit entwickelt, die inzwischen allerdings beide antiquiert erscheinen. Newton hat ein geometrisches Approximations-Verfahren gefunden, während Leibniz zwar ein analytisches Approximations-Verfahren entwickelt hatte, für das er allerdings eine neue Klasse von Zahlen definieren musste, die sogenannten Infinitesimale. Beide Lösungen provozierten eine metaphysische Diskussion, welche man eigentlich doch gerade mit dieser neuen Mathematik gelöst haben wollte.[44] Während für Deleuze der Fehler Newtons darin bestand, die Differentiale mit Null gleichzusetzen, so bestand der Fehler Leibniz’ darin, die Differentiale mit individuellen Werten zu verknüpfen. »Das Prinzip einer differentiellen Philosophie […] darf in keiner Weise vom unendlich Kleinen abhängen«, betont Deleuze wiederholt.[45] Es sei vielmehr die grosse Stärke der Interpretation von Bordas-Demoulin, dass er den Differentialen eine platonische Bedeutung gegeben hätte, die nicht einfach das Kontinuum als Idealität voraussetzt. Nach dieser Interpretation gehört »[D]as Kontinuum [gehört] tatsächlich zur Idee nur in dem Masse, wie man eine ideelle Ursache der Kontinuität bestimmt. Zusammen mit der Ursache gefasst bildet die Kontinuität das reine Element der Quantitabilität.« Selbst als differentielles System gedacht, wird das Kontinuum zu einem Medium, zu einem Element welches sowohl fixe Quantitäten der Anschauung – Deleuze nennt diese quantum – wieauch die variablen Quantitäten als Verstandesbegriffe – quantitas in seiner Terminologie – ermöglicht. So verstanden ist das dx als Symbol für das Kontinuum weder Allgemeinheit (Verstandesbegriffe) noch besonderer Ausdruck (Anschauungswerte), sondern es ist vielmehr beidem kategorisch vorgelagert. Es ist das Element »des Universalen und seiner Erscheinung«.[46] Deleuze präzisiert:

»Was sich in dy/dx oder 0/0 aufhebt, sind nicht die differentiellen Quantitäten, sondern bloss das Individuelle und die Verhältnisse des Individuellen in der Funktion. […] die Funktion hat ihren veränderlichen Teil oder ihre Variationseigenschaft eingebüsst, sie repräsentiert nurmehr das Unveränderliche zusammen mit der Operation, die es hervortreten liess.«[47]

Wir sehen jetzt, inwiefern Deleuze sagen kann, dass das Universale kein Nichts sei: Weil Verhält­nisse des Universalen denkbar sind, von denen keiner der Terme selbst über eine unabhängige Variable bestimmbar ist. »dx ist im Verhältnis zu x völlig unbestimmt, dy im Verhältnis zu y, im Verhältnis zueinander aber sind sie vollkommen bestimmbar. Darum entspricht dem Unbestimmten als solchem ein Prinzip von Bestimmbarkeit.«[48] Deleuze findet also in der Denkfigur des Differentials ein Prinzip der Wechselbestimmung, die für ihn – mit Bourdas in eine platonische Idealität gewendet – die Funktion von Synthese an sich wird, und zwar als »Idee einer reziproken Synthese«.[49] Die reziproke Synthese des Differentialquotienten, wie Deleuze sie bestimmt, hat keine reflexionslogische Bedeutung. Vielmehr sieht er darin seinen Standpunkt der Genese, von dem aus er seine »kritische« Philosophie ausrichtet: »die reziproke Synthese der Differential­quotienten als Quelle der Produktion der Realobjekte«.[50] Die zentrale Frage nun lautet: In welcher Form ist der Differentialquotient bestimmbar? Als Modell übersetzt von der Mathematik in die Philosophie würde diese Frage lauten: In welcher Form sind Realobjekte bestimmbar, das heisst, wie lässt sich sinnvoll über die Welt der Erscheinungen und Ereignisse sprechen? Das Differential legt nahe, nicht über Objekte, sondern über deren Relationen und Veränderungen in Zeit zu sprechen, dx/dt, wobei x nachgerade für alles stehen kann. Die Objekte werden als Quasi-Objekte durch eine Zweckbestimmung jener Relationalität bzw. Veränder­lich­keit abgeleitet. Wir finden darin also die klassische Frage der antiken Seins-Lehre, wenn auch buchstäblich unter verkehrten Vorzeichen neu formuliert. Im nächsten Kapitel wollen wir genauer betrachten, was es mit dieser »Umwendung des Platonismus«, als die Deleuze seine Philosophie versteht, auf sich hat.

Aber zuerst soll noch einmal kurz und überblickend dargestellt werden, worin der Schatz besteht, den Deleuze in diesem Zweig der Mathematik zur Inspiration für sein Logik des Differentials besteht. In den Naturwissenschaften formuliert man ein Problem heute anhand von Differential­gleichungssystemen, für die man eine Lösung sucht. Es gibt also Funktionen, die man gerne in ein Gleichungssystem integrieren möchte, um irgendwelche umfassenderen Zusammenhänge besser verstehen zu können. Manchmal, das heisst vom heutigen Standpunkt aus gesprochen, in der über­wiegenden Mehrzahl der Fälle,[51] gelingt dies nicht. Die Suche nach der Integrierbarkeit solcher Systeme – und nichts anderes bedeutet mathematisches Modellieren mittlerweile – geschieht dort mittels verschiedener Verfahren zur Annäherung an das, was man mengentheoretisch heute als Grenzwert definiert hat.

Wie Duffy hervorhebt, muss die Auseinandersetzung von Deleuze mit diesen Themen als Problematisierung der modernen Reduktion der Differential- und Integralrechnung auf den Finitismus der Cantorschen Mengentheorie verstanden werden. Die Kritik von Deleuze bezieht sich auf deren endliche Interpretation des Unendlichen, auf »the idea that infinite entities are … considered to be finite within set theory«.[52] Die Mengenlehre benötige zwar selbst ein Axiom des Unendlichen, schreibt aber nichtsdestoweniger eine strikt endliche Interpretation der Differential­rechnung vor, wie Deleuze ausführt:

»Man weiss nämlich, dass der Begriff des Grenzwerts seinen phoronomischen Charakter eingebüsst hat und nur noch statische Erwägungen umfasst; […] dass das Differential schliesslich nur eine Grösse bezeichnet, die man unbestimmt lässt, um sie bei Bedarf mit einem Wert kleiner als dem einer festgesetzten Zahl zu versehen. An dieser Stelle ist der Strukturalismus entstanden, während gleichzeitig die genetischen oder dynamischen Bestrebungen der Differentialrechnung abgestorben sind.«[53]

Wenn man von der Metaphysik der Differentialrechnung spreche, so handle es sich um eben diese Alternative zwischen der unendlichen und der endlichen Repräsentation. Mit seiner kritischen Position gegenüber dem Repräsentationsdenken ist mit dieser Alternative für ihn das Problem damit falsch gestellt. Denn »freilich«, so sagt er, »ist diese Alternative, und folglich die Metaphysik, in der Technik des Kalküls selbst unverbrüchlich enthalten«.[54] Dem entgegen will Deleuze eine andere Tradition in der Interpretation der Infinitesimalrechnung des 17. Jahrhunderts erschliessen, die bisher nur wenig Aufmerksamkeit bekommen hat. Die Formel, der er dabei nachspürt, ist dass es in jedem Diskreten eine »infinity« gibt, »[that] consists […] under a certain relation«. – eine Unendlichkeit, die über das Differential selbst irreduzibel in der Technik des Kalküls enthalten ist. Dies stellt sich für ihn so dar, weil durch seine Konzeption dieses Denkmodells eine Funktion als Formulierung eines Problems durch die differentielle Beziehung selbst erst konstituiert wird. Die strikt endliche Repräsentation von Unendlichkeiten, wie sie die Mengentheorie vorschlägt, würden laut Deleuze eben diese »extra-propositional« oder »sub-representative« Quelle missachten, »from which calculus draws its power«.[55] Es ist wichtig, noch einmal hervorzuheben dass es Deleuze hier nicht darum geht, für eine bestimmte Position in der Geschichte der Mathematik einzutreten. Er formuliert sein Interesse grundlegender:

»Wichtig für uns ist weniger die Bestimmung dieses oder jenes Einschnitts in der Geschichte der Mathematik […] als die Art und Weise, wie sich in jedem Augenblick dieser Geschichte die dialektischen Probleme, ihr mathematischer Ausdruck und die gleichzeitige Genese von Lösbarkeitsfeldern zusammensetzen.«[56]

Für ihn entspricht dieses Thema, so wie er sich mit seinem Begriff des Differentials und der Ordnung darauf bezieht, der Dialektik. »Die dialektische, problematische Idee ist ein System von Bindungen zwischen differentiellen Elementen, ein System von Differentialverhältnissen zwischen genetischen Elemente[57] Dabei gibt es für ihn unterschiedliche Ordnungen von Ideen, die sich ebenfalls wechselseitig voraussetzen, wie in der Idee einer Idee, beispielsweise. Nicht die Mathematik sei es also, »die auf andere Gebiete angewendet wird, vielmehr ist es die Dialektik, die für ihre Probleme, vermöge ihrer Ordnung und ihrer Bedingungen, die Differentialrechnung einführt, die dem betrachteten Gebiet unmittelbar angemessen ist und eignet«.[58] Deleuze geht sogar so weit zu formulieren: »Der Universalität der Dialektik entspricht in diesem Sinne eine mathesis universalis. Wenn die Idee das Differential des Denkens ist, so entspricht jeder Idee ihre eigene Differentialrechnung, ein Alphabet dessen, was Denken bedeutet[59] So betrachtet ist die Differentialrechnung »nicht das platte Kalkül der Utilitaristen, nicht das grobe arithmetische Kalkül, das das Denken anderen Dingen wie anderen Zwecken unterordnet, sondern die Algebra des reinen Denkens, die höhere Ironie der Probleme selbst«.[60] Im nächsten Kapitel nun wollen wir genauer sehen, wie Deleuze diesen Sprudelort beschreibt.


[1] Ernst Cassirer. Substanzbegriff und Funktionsbegriff. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Berlin 1969. S. 34.

[2] Vgl. Anm. 310.

[3] Daniel W. Smith. »The conditions of the new«. In: Deleuze Studies, Vol 1, Nr. 1., S. 1-21, hier S. 6.

[4] Ich folge hier den drei von Daniel W. Smith unterschiedenen Typen, um über Bedingungen nachzudenken. Vgl. Daniel W. Smith, a.a.O. [Anm. 580], S. 3.

[5] Für eine wissenschaftstheoretische Besprechung zur Problematik des Neuen als Gegenstand von entweder analytischen oder empirischen Methoden vgl. Thomas Kuhn. Die Struktur wissenschaftlicher Revolutionen. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main 1969; Ders. Die Entstehung des Neuen: Studien zur Struktur der Wissenschaftsgeschichte. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main 1978; aus der Perspektive des Modellierens vgl. Robert Rosen. Life Itself: A Comprehensive Inquiry into the Nature, Origin, and Fabrication of Life, Columbia University Press, 1991; sowie ders. Essays on Life Itself. Columbia University Press 2000; für eine Besprechung spezifisch im Anschluss an Deleuze vgl. Smith, a.a.O. [Anm. 580].

[6] zitiert in: Arnauld Villani. La guêpe et l’orchidée: Essai sur Gilles Deleuze. Berlin, Paris 1999. S. 130.

[7] Daniel W. Smith, John Protevi. »Gilles Deleuze«. In: Edward N. Zalta (Hrsg.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2008 Edition). online: http://plato.stanford.edu/archives/fall2008/entries/deleuze/ (20-01.2009)

[8] Das bedeutet hier, mit Deleuze, »wahr« insofern als die Lösung sich »sinnvoll« begründen lässt.

[9] Es sei hier nur auf zwei Stellen verwiesen, von denen hier schon die Rede war: Das Bild der Nord-West Passage in Hermes V, a.a.O. [Anm. 470], sowie das Bild der Karten in Atlas, [Anm. 235].

[10] Das Bild eines Übergangs vom Lokalen zum Globalen selbst ist für Serres eine Metapher für den Kalkulus. Vgl. dazu seine ausführliche Studie über Leibniz: Michel Serres. Le Système de Leibniz et ses modèles mathématiques. Presses Universitaire de France 1990 [1968].

[11] Daniel W. Smith, a.a.O. [Anm. 580 ], S. 9.

[12] Vgl. Michel Serres. The Birth of Physics. Clinamen Press, London 2000; vgl. [Anm. 546].

[13] Ian Stewart. Does God play Dice? The Mathematics of Chaos. Blackwell Publishers, Oxford 1989. S. 32‑33.

[14] dieser Auffassung war auch Bertrand Russell in: An Outline of Philosophy. Hier zitiert in Mario Bunge. Causality and Modern Science. Dover Books, New York 1979. S. 74-75.

[15] Mit dem gleichen Interesse (strukturell betrachtet) hat sich Deleuze auch mit anderen Bereichen der Wissenschaften, und speziell auch der Mathematik, beschäftigt; so etwa der Molekularbiologie, der Topologie, der mathematischen Gruppentheorie und der Kategorientheorie, und ebenfalls – was sich allerdings schon sehr viel vertrauter anhört für eine Philosophin, der Psychoanalyse, den Künste, oder der Politik.

[16] Deleuze. Difference and Repetition. Transl. By Paul Patton. Columbia University Press, New York 1994. S. xvi, xxi. Hier zitiert in Daniel W. Smith, a.a.O. [Anm. 580], S. 9.

[17] Ernst Cassirer, a.a.O. [Anm. 578], S. 48.

[18] Ernst Cassirer, a.a.O. [Anm. 578], S. 69.

[19] Ernst Cassirer, a.a.O. [Anm. 578], S. 69; vgl. auch S. 38ff.

[20] Ernst Cassirer, a.a.O. [Anm. 578], S. 71.

[21] Die Grundlagenkrise in der Mathematik des 19. Jahrhunderts wird auch als die »neue Grundlagenkrise« bezeichnet, in Abgrenzung zu einer antiken Grundlagenkrise, die sich aufgrund der Einführung der irrationalen Zahlen entwickelt haben soll. Vgl. dazu B.L. van der Waerden. Zenon und die Grundlagenkrise der griechischen Mathematik. Mathematische Annalen Nr. 117, 1940. S. 141-161; Harro Heuser. Unendlichkeiten. Nachrichten aus dem Grand Canyon des Geistes. Teubner, Wiesbaden 2008.

[22] Ernst Cassirer, a.a.O. [Anm. 578], S. 72.

[23] Deleuze beschreibt dies im letzten Kapitel seines Buches über Foucault: »Die Faltung oder das Innen des Denkens«. In: Gilles Deleuze. Foucault. Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main 1992, S. 131-174.

[24] Nils Röller. Medientheorie im epistemologischen Übergang. Verlag und Datenbank für Geisteswissen­schaften, Weimar 2002. S. 41.

[25] So gab es beispielsweise bestimmte Funktionen, die etwa Karl Weierstrass als Monster-Funktionen klassifiert hat. Für eine ausführliche Darstellung der Implikationen und Konsequenzen der damit verbundenen, und später von Hans Hahn so benannten »Krise der Anschauung« siehe: Klaus Volkert. Die Krise der Anschauung. Vandenhoeck + Ruprecht, Göttingen 1986; für eine kurze, schöne und prägnante Darstellung der Problematik rund um das Unendliche im 20. Jahrhundert siehe die Vorlesung von Rudolf Taschner im Rahmen der Wiener Vorlesungen: Rudolf Taschner. Musil, Gödel, Wittgenstein und das Unendliche. Picus, Wien 2002.

[26] Nils Röller, a.a.O. [Anm. 601], S. 40ff.

[27] Ernst Cassirer, a.a.O. [Anm. 578], S. 69.

[28] vgl. dazu vor allem: Bergson. Denken und schöpferisches Werden. Europäische Verlagsanstalt, Hamburg 2007 [1921]; vgl. auch die Monographie von Deleuze über Bergson: Gilles Deleuze. Bergson zur Einführung. Junius Verlag, Hamburg 2007 [1966].

[29] Nils Röller, a.a.O. [Anm. 601], S. 40.

[30] Vgl. dazu die Untersuchung von Jeffrey A. Bell zum Verhältnis von Deleuze and Derrida bezüglich der Möglichkeit einer systematischen Philosophie der Differenz: Jeffrey A. Bell. Philosophy at the Edge of Chaos. Gilles Deleuze and the Philosophy of Difference. University of Toronto Press, Toronto 2006.

[31] Protevi und Smith, a.a.O. [Anm. 584], S. 1.

[32] Car Boyer. The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications, New York 1959. Hier zitiert in Simon Duffy. The mathematics of Deleuzes differential logic and metaphysics. In: Simon Duffy. Virtual Mathematics. The Logic of Difference. Clinamen Press, London 2006. S. 118-143, hier S. 118/19.

[33] Newton hatte gleichzeitig eine andere Perspektive dazu entwickelt, die er Fluxionsrechnung nannte. Anstelle von Leibniz’ Differential kam bei ihm das Fluxion zu stehen.

[34] Simon Duffy. The mathematics of Deleuzes differential logic and metaphysics. In: Simon Duffy. Virtual Mathematics. The Logic of Difference. Clinamen Press, London 2006. S. 119.

[35] Duffy, a.a.O. [Anm. 611], S. 119.

[36] Duffy, a.a.O. [Anm. 611], S. 119.

[37] Deleuze 1981. Sur Spinoza. 12 December. Translated by Timothy S. Murphy.
http://www.webdeleuze.com/php/sommaire.html hier zitiert bei Duffy, a.a. O. [Anm. 611], S. 119.

[38] Deleuze 1981. Sur Spinoza. 12 December. Translated by Timothy S. Murphy.
http://www.webdeleuze.com/php/sommaire.html hier zitiert bei Duffy, a.a. O. [Anm. 611], S. 120.

[39] dem vierten Kapitel von Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 215ff.

[40] Um den Punkt zu bezeichnen, den man den aleatorischen Punkt für die Differenzphilosphie von Deleuze nennen könnte, den »kritischen Punkt, an dem die Differenz als Differenz die Funktion der Vereinigung übernimmt« (DW S. 220), kommt Deleuze auf das Differential zu sprechen. Er verfolgt die Strategie, die Denkfigur des Widerspruchs durch diejenige des Differentials zu ersetzen, und beginnt seine Ausführungen mit folgenden Worten: »Wir stellen Nicht-A dx gegenüber, und entsprechend dem Symbol des Widerspruchs das der Differenz […] – und ebenso der Negativität die Differenz an sich selbst. Freilich sucht der Widerspruch die Idee seitens der grössten Differenz, während das Differential Gefahr läuft, in den Abgrund des unendlich Kleinen zu stürzen. Das Problem ist damit aber nicht richtig gestellt: Es ist falsch, den Wert des Symbols dx mit der Existenz der Infinitesimalen zu verbinden; aber es ist ebenso falsch, im Namen ihrer Ablehnung jenem Symbol jeglichen ontologischen oder gnoseologischen Wert zu verweigern.« a.a.O. [DW Anm. 506], S. 220.

[41] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 220.

[42] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 220.

[43] Der Streit geht darum, dass wenn immer die Unendlichkeit ins Spiel kommt auch irreduzible, implizite oder explizite metaphysische Voraussetzungen deutlich werden. Ian Stewart formuliert die Frage wie folgt: »Kann man sich eine Gerade als eine Art von Punktfolgen vorstellen? Kann eine Ebene in parallele Geraden zerschnitten werden oder ein Körper in Ebenen? Die moderne Sicht lautet »Ja«, das Verdikt der Geschichte ein überwältigendes »Nein«; der Hauptgrund dafür ist der, dass sich die Deutung dieser Frage geändert hat.« Ian Stewart. Mathematik. Probleme-Themen-Fragen. Birkhäuser, Basel und Boston 1990. S. 92.

[44] So war der vehementeste Gegner der Differential- und Integralrechnung Bischof George Berkeley. 1743 veröffentlichte er eine gegen Newtons Fluxion gerichtete Schrift, das er wie folgt betitelte: »The Analyst, Or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. Wherein It is examined whether the Object, Principles, and Inferences of the modern Analysis are more distinctly conceived, or more evidently deduces, than Religious Mysteries and Points of Faith.« Zitiert in Hacking S. 94. Newton hatte laut Hacking ein Fluxion als das letzte Verhältnis verschwindender Inkremente defininiert. Dazu schreibt Berkeley in besagtem Text: »Und was sind diese Fluxionen? Die Geschwindigkeit verschwindender Inkremente. Und was sind diese selben verschwindenden Inkremente? Sie sind weder endliche Grössen noch unendlich kleine Grössen noch gar nichts? Können wir sie nicht Geister verblichener Grössen nennen?« Hacking kommentiert die Einwände Berkeleys: »Das erste, was man hinsichtlich der Einwände Berkeleys anerkennen muss, ist dass er die Analytiker mit vollem Recht kritisiert hat. Es war eine scharfsinnige sachliche Kritik, und sie riss eine schreckliche Lücke.« Ian Hacking, a.a.O. [Anm. 620], S. 82/83.

[45] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 220; 221.

[46] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 221.

[47] Deleuze bezieht sich hier auf Bordas, und verweist darauf, dass dieser unter dem Individuellen sowohl das Besondere als auch das Allgemeine verstehe. Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 221.

[48] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 222.

[49] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 222.

[50] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 223.

[51] Deleuze 1981. Sur Spinoza. 12 December. Translated by Timothy S. Murphy. http://www.webdeleuze.com/php/sommaire.html hier zitiert bei: Simon Duffy. Virtual Mathematics. The Logic of Difference. Clinamen Press, London 2006, S. 120.

[52] Jean-Michel Salanskis. »Idea and Destination«. In: Paul Patton. Deleuze: A Critical Reader. Blackwell Publishers Oxford 1996. S.66. Hier zitiert in Simon Duffy. Virtual Mathematics. The Logic of Difference. Clinamen Press, London 2006, S. 142.

[53] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 227.

[54] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 227.

[55] Deleuze Difference and Repetition, hier zitiert in Simon Duffy. Virtual Mathematics. The Logic of Difference. Clinamen Press, London 2006, S. 142. Vgl. in der deutschen Ausgabe dazu Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 229.

[56] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 232.

[57] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 232/233.

[58] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 232/233.

[59] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 232/233.

[60] Deleuze, Differenz und Wiederholung, a.a.O. [Anm. 506], S. 232/33.

One thought on “The idea as a differential of thought

  1. Pingback: Deleuze on Ideality as the Element where Problems Exist | monas & nomos

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